Controlabilidad para ecuaciones de evolución estocásticas y aplicaciones

Abstract

La teoría del control es hoy en día una de las áreas de investigación que surgió de la revolución industrial y aplicaciones tecnológicas. Es una disciplina donde la unión de ideas y métodos matemáticos originó un nuevo campo de las matemáticas. La teoría de control es hoy en día un punto de encuentro entre ingenieros y otros científicos con matemáticos. La palabra control tiene doble significado. Primero, controlar un sistema significa probar o chequear que su comportamiento sea satisfactorio. La palabra controlar también significa actuar, poner cosas a fin de garantizar que el sistema se comporte de la forma deseada. Como en otros campos de actividades humanas, la disciplina del control existió mucho antes que la palabra control fuese dada. En efecto, en el mundo de las especies vivientes, los organismos están dotados con mecanismos sofisticados que regulan las diversas tareas que ellos desarrollan. Esto garantiza el crecimiento, desarrollo y reproducción de las especies. Las tres ideas ideas claves en la teoría de control son: la noción de feedback, la necesidad de fluctuación y optimización. Por supuesto otros conceptos importantes han surgidos, uno de ellos es la cibernética, propuesta por el físico francés Ampere en el siglo 19 para designar la ciencia no existente de procesos de control. Fue rápidamente olvidada hasta 1948, cuando N. Wiener escogió la palabra "Cybernetic" para titular su libro. Wiener definió Cybernetic como "la ciencia del control y comunicación en animales y máquinas". De ésta forma se estableció la conexión entre teoría de control y fisiología y anticipó que, en un futuro cercano, máquinas obedecerán e imitarán a seres humanos. Ejemplos del rol de la teoría de control jugado en la historia la encontramos en el sistema de regulación de válvulas usadas por los romanos a fin de mantener los niveles de agua constante. En la antigua mesopotamia el control del sistema de irrigación fue muy conocido. Ejemplos modernos en teoría control podemos citar el trabajo de Ch. Huygens y R. Hooke en el siglo 17 sobre la oscilación del péndulo. J. Watt adaptó este principio cuando inventó la máquina de vapor que constituye un paso importante en la revolución industrial. El astrónomo británico G. Airy fue el primer científico que analizó matemáticamente el sistema de regulación inventado por Watt. Pero la primera forma de descripción matemática fue dada en el trabajo de .J .C. Maxwell en 1868, donde el comportamiento errático encontrado en la máquina de vapor fue descrito y algunos mecanismos de control fueron propuestos. Aplicaciones simples de teoría de control aparecen en los tanques de nuestros baños, sistemas de calefacción-ventilación, y aire acondicionados en grandes edificios. La lista de aplicaciones en la industria es infinita. Las ideas centrales de la teoría de control ganó importancia y la ingeniería de control surgió como disciplina distinguible. En los años treinta importantes progresos fueron hechos en control automático. Elnúmero de aplicaciones aumentó cubriendo amplificadores en sistemas de teléfonos, sistemas distribuidos en plantas eléctricas, estabilización de aeroplanos, mecanismos eléctricos en la producción de papel, química, petróleo, industria del acero, etc. Al final de la década de los treinta dos métodos diferentes emergen: un primer método se basa en el uso de ecuaciones diferenciales y el segundo de origen frecuencial, basado en el análisis de amplitudes y fases de "entrada" y "salida". En ese tiempo, muchas instituciones tomaron conciencia de la importancia del control automátieo. Esto sucedió con la Sociedad Americana de Ingeniería Mecánica (ASME) y el Instituto de Ingeniería Eléctrica (lEE). Durante la segunda guerra mundial y en los siguientes años, científicos e ingenieros aportaron experiencia en el mecanismo de control de aviones, proyectiles y diseños de baterías antiaéreas. Después de 1960 los métodos e ideas expuesta anteriormente pasaron a ser consideradas como parte de la teoría de control. La guerra mostró que los modelos considerados anteriormente hasta ese momento no describían la complejidad del mundo real. En efecto, en ese tiempo era claro que los sistemas verdaderos son con mas frecuencia no lineales y nodeterminísticos, ya que son afectados por "ruidos". Esto genero nuevos efectos en el campo. Las contribuciones de los científicos norteamericanos R. Bellman en el marco de programación dinámica, R Kalman en técnicas de filtración y aproximación algebraica a sistemas lineales y el ruso L. Pontryagin con el principio máximo para problemas de control optimal no lineal, establecieron los fundamentos de la teoría moderna del control. R. Kalman uno de los grandes protagonistas de la teoría moderna de control nació en Budapest ,Hungría, en 1930. Es ingeniero eléctrico y matemático educado en los estados unidos. Realizó el grado de bachiller en 1953 y su grado de maestría en 1954 ambos en el Instituto de Tecnología de Massachusetts y completó su doctorado en 1957 en la Universidad de Columbia Nueva York. Actualmente está retirado. En 1974 dijo que, en el futuro los principales avances en control y optimización de sistemas surgirán mas de progresos matemáticos que del desarrollo tecnológico. Esta es una pequeña historia sobre la teoría de control. Una bibliografía excelente que explica detalladamente la teoría de control puede consultarse en [18]. Este trabajo tiene como objetivo principal el estudio de la controlabilidad exacta de tres ecuaciones de evolución estocásticas en espacios de Hilbert separables. Dicho estudio se realizó de forma que sea autocontenido para aquellos investigadores que no tengan un conocimiento básico en teoría de probabilidades y procesos aleatorios como también en integración estocástica.