Existencia de soluciones acotadas y controlabilidad para una clase de ecuaciones de evolución

Abstract

En este trabajo se estudia la Existencia de Soluciones Acotadas y la Controlabilidad de una amplia clase de Ecuaciones de Evolución, la cual aparece con frecuencia en aplicaciones a la Física e Ingeniería, como por ejemplo la Ecuación de Sine-Gordon [30], la Ecuación de Termoelasticidad en una placa [28], la Ecuación que modela una viga flexible amortiguada [9), la Ecuación de la Onda Fuertemente Amortiguada [9], etc. Las Técnicas usadas con mayor frecuencia en esta tesis se basan en el estudio de Semigrupos de Operadores Fuertemente Continuos, Teoremas de Punto Fijo, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en Espacios de Banach, Operadores Lineales Compactos y Teoría de Control en Espacios de Banach. Se presentan los resultados expuestos en tres artículos, dos de los cuales han sido publicados en revistas internacionales arbitradas e indexadas y el otro ha sido enviado para su posible publicación. La tesis consta de cuatro capítulos. En el Capítulo 1, se exponen las definiciones y los resultados básicos usados en el desarrollo de los restantes capítulos. El Capítulo 2 se refiere a la Existencia de Soluciones Acotadas para la siguiente Ecuación Semilineal en Espacios de Banach. En el capítulo 3 se prueba que una clase amplia de Sistemas de Control de dimensión infinita, nunca puede ser Exactamente Controlable, estos sistemas están dados por la Ecuación de Evolución. En el Capítulo 4, se estudia la Controlabilidad Exacta del siguiente sistema de Ecuaciones Funcionales Semilineales Integrodiferenciales en el Espacio de Banach X, donde U es un espacio de Banach. Bajo estas hipótesis se prueba que el sistema (9) es Exactamente Controlable. Esta clase de sistema fue estudiado por Balachandran [6], asumiendo la compacidad del semigrupo generado por el operador A y la controlabilidad Exacta del sistema lineal asociado, hipótesis que por lo demostrado en el capítulo 3, son incompatibles. Nosotros probamos la Controlabilidad Exacta del sistema (9), descartando la compacidad del semigrupo y pidiendo condiciones adicionales al término no-lineal.