Interpolación de cónicas en 3D, usando cuboides

Abstract

El objetivo de esta investigación es diseñar y controlar una superficie algebraica de grado tres o cuboide que interpole dos cónicas dadas que yacen en dos planos diferentes en 3D. El antecedente de esta investigación es el estudio de ciertas superficies tubulares, diseñadas con la envolvente de una familia monoparamétrica cuadrática de esferas (Paluszny y col. 1998), (Franquiz y col. 2006) y (Boehm y col. 1997). La ecuación implícita de tales superficies tubulares tiene, en general grado algebraico 4 y en ciertos casos particulares tiene grado 3, es decir, resulta un cuboide. Dado que estas superficies tubulares constan de perfiles circulares, es posible prescribir dos círculos de interpolación para el diseño de segmentos tubulares. Nuestro estudio trata de generalizar la expresión de esta superficie tubular de grado 3, de modo que se puedan interpolar cualquier par de cónicas en el espacio, usando una sección de un cuboide. En particular, hacemos énfasis en el caso que las cónicas de interpolación dadas sean elipses y todos los perfiles del cuboide sean también elípticos, de esta forma se pueden diseñar superficies tubulares de grado tres con perfiles no necesariamente circulares, además el grado de la superficie es 3, menor al caso estudiado por los autores antes nombrados. En (Xu y col. 2001), se construyen segmentos de superficies algebraicas, los cuales son llamados A-Patches, en esta construcción se usan segmentos de cuboides en coordenadas tetraédricas. En nuestro caso también se estudia la construcción de un cuboide interpolante en coordenadas tetraédricas, pero se controla cada perfil de la superficie. Nótese que, si se considera el problema de interpolar dos cónicas en 3D que yacen en dos planos diferentes, con una superficie algebraica de grado dos o cuádrica, no se tienen suficientes grados de libertad para resolver el problema.

We introduce a method to design and control an algebraic surface of degree three or cuboid, that interpolates two given conics that lie in two different planes in 3D. The background of this research is the study of certain tubular surfaces, designed with the envelope of a quadratic parametric family of spheres (Paluszny et al. 1998), (Franquiz et al. 2006) and (Boehm et al. 1997). In general, the implicit equation of such tubular surfaces has algebraic degree 4 and, in certain cases it has degree 3, this is a cuboid. Since these tubular surfaces consist of circular profiles, it is possible to prescribe two interpolation circles for the design of tubular segments. Our study tries to generalize the expression of this tubular surface of degree 3, so that any pair of conics in space can be interpolated, using a section of a cuboid. We emphasize the case that the given interpolation conics are ellipses, and all the profiles of the cuboid are also elliptical. In this way, it is possible to design tubular surfaces of degree three, with profiles that are not necessarily circular. In addition, the degree of the surface is 3, lower than the case studied by the aforementioned authors. In (Xu et al. 2001), segments of algebraic surfaces are constructed, which are called A-Patches, in this construction segments of cuboids in tetrahedral coordinates are used. In our case, the construction of an interpolating cuboid in tetrahedral coordinates is also studied, but each surface profile is controlled. Note that, if we consider the problem of interpolating two 3D conics lying in two different planes, with an algebraic surface of degree two or quadratic surface, we do not have enough degrees of freedom to solve the problem.