Propiedades topológicas y descriptivas del semigrupo de Ellis

Abstract

Sea (X f) un sistema dinámico, donde X es un espacio métrico compacto y fes una función continua de X en sí mismo. El semigrupo de Ellis, denotado por X (X, f), asociado al sistema dinámico (X, f ), es la clausura del conjunto { fn∶ n ∈ N} en el espacio producto Xx. Este trabajo se centra en los aspectos siguientes: 1. Mostrar que si X es un espacio métrico compacto numerable, si cada punto de acumulación del espacio X es periódico, entonces cualquier h ∈ E(X, f) es continua en X ó cualquier h ∈ E (X,f) \ {fn : n ∈ N} es discontinua en X. 2. Exhibir un ejemplo donde se ilustra que si infinitos puntos de acumulación de X, tienen órbita finita no periódica, existen g, h ∈ X(X, f) \ {f n : n ∈ N} tales que g es continua en X y h es discontinua en X. 3. Dado P = {s ∈ N : (Ǝx ∈)(fs (x) = x)}. Mostraremos que en el caso de sistemas dinámicos (X, f), donde X es un espacio métrico compacto, si P es un subconjunto infinito de N que cumple cualquiera de las siguientes condiciones: Existe r ∈ N tal que P contiene una sucesión A = (rαi)i∈N donde (αi)i∈N es una sucesión de primos relativos. Sea A un subconjunto de P tal que para cualesquiera c, b ∈ A donde c < b, entonces c│b, entonces E(X,f) es no numerable. 4. Demostraremos que, si X es un espacio métrico compacto numerable, el semigrupo de Ellis E(X,f) es una compactificación de N, si existe una sucesión (Wn ) n∈N en X tales que para cada n ∈ N y cada l < n, el punto {fl (Wn) no es periódico.