Un nuevo método de elementos finitos para los problemas difusivos con conductividades muy distintas

Abstract

El método de los elementos finitos clásico (FEM) ha sido ampliamente aplicado en problemas multi fases. Sin embargo, obtener soluciones precisas con el FEM conlleva un alto costo computacional, ya que la malla debe ser conforme con la geometría de la interfase y en general, si se utilizan elementos estándares, se necesita un alto nivel de refinamiento alrededor de la misma. El método de los elementos finitos extendido (XFEM) se ha convertido en una interesante técnica para el análisis de estos tipos de problemas, ya que permite hacer independiente la geometría de la interfase respecto de la malla de elementos finitos. Para ello se enriquecen los elementos afectados por la interfase con nuevos grados de libertad que introducen la discontinuidad de la derivada normal en la interfase. No obstante, cuando se aplica XFEM a los problemas de difusión en un sistema de dos fases con conductividades muy distintas, esta popular estrategia produce una representación inexacta de los flujos en la vecindad de la interfase. El enriquecimiento XFEM mejora la calidad global de la solución pero no satisface algunos rasgos locales de los flujos, por lo que los flujos numéricos resultantes en la vecindad de la interfase no es realista. Este trabajo propone modificar el XFEM para remediar este inconveniente. Para ello, se introduce una restricción adicional a la formulación XFEM que añada la propiedad de continuidad del flujo normal sobre la interfase. Se origina así, un nuevo método numérico para aproximar el problema elíptico con interfase con conductividades de alto contraste. Esta solución será denotada como XFEM+ y se desarrollarán las ideas y formulaciones necesarias para obtenerla. Se comprueba mediante ejemplos numéricos que, en efecto, el XFEM+ mejora los flujos numéricos locales en la zona de transición y mediante un análisis del error se logra comprobar matemáticamente los resultados obtenidos. Así mismo, se logra establecer un rango de acción para resolver los problemas elípticos con interfase con los métodos de los elementos finitos.Por otro lado, por ser el XFEM+ una restricción del XFEM en el mismo espacio de dimensión finita, la norma energética sigue siendo minorada por el XFEM. Dentro del contexto de un proceso adaptativo, el control del error se debe hacer tomando en cuenta el interés particular del problema, en general: minimizar el error global en norma energética o el error local producido por los flujos en la interfase. En una primera discusión, se debería usar el XFEM o su restricción XFEM+, según sea el caso. Sin embargo, y debido principalmente a la formulación variacional que surge de estos problemas, algo más debe decirse. En este sentido, se analiza la representación del error y la forma de cómo lograr un proceso adaptativo óptimo orientado al cálculo de la solución de los problemas de difusión con conductividades muy distintas. La experimentación numérica deja ver los resultados analíticos presentados.