Un estimador de error residual explícito para adaptatividad orientada al resultado

Abstract

Existen una gran variedad de problemas físicos cuya formulación desde, un punto de vista matemático, es una ecuación diferencial en derivadas parciales. Tal es el caso de la transmisión del calor, del electromanegtismo, de la mecánica de fluido o de análisis estructural, entre otros. En general, estos problemas resultan de gran complejidad y se tiene que recurrir a técnicas numéricas para encontrar soluciones aproximadas. Dentro de estas técnicas se encuentra el método de los elementos finitos (MEF), que actualmente se considera un método general aplicable a la mayoría de los problemas matemáticos y de ingeniería. Por consiguiente, surge el interés de controlar la calidad de la solución aproximada. El mejor control será aquél que proporcione la solución más exacta con el menor número de incógnitas. Una forma de conseguir esto, es utilizar un proceso adaptativo de la malla para aproximar eficientemente la solución numérica del problema, para ello se introducen dos estimas de error residual explícito a posterioriparaproblemas elípticos orientadas a cantidades de interés, propuesto por Rosales y Díez, (ver referencia [3]). La representación del error a partir de cantidades de interés involucra la solución de elementos finitos del problema original (primal) y la de un problema adjunto o dual. En este trabajo, la representación del error se completa al usar una familia de funciones para definir el error. Estas funciones son conocidas como funciones burbujas. Para este fin, es necesario definir y analizar criterios de remallado para el proceso adaptativo orientado al control del error en cantidades de interés. Recientemente, Calderón y Díez [31], siguiendo las ideas introducidas por Li y Bettess [32], definen y analizan criterios de remallado para cantidades de interés, probando· además la optimalidad de uno de los criterios propuestos. Adicionalmente, en esta tesis, se implementa una familia distinta de funciones burbujas las cuales resultan más óptimas para la estimación del error.