Endomorfismo transitivo de la recta real con dos discontinuidades

Abstract

En el estudio de los sistemas dinámicos existen pocos ejemplos de endomorfismos transitivos en una variedad no acotada. Un ejemplo de un endomorfismo transitivo en la recta menos un punto es la función Boole, definida como:

B: R \ {0} → R, B(x) = x − 1 /x

En este trabajo estudiaremos dos casos de endomorfismos transitivos en la recta real. El primer caso, que llamaremos sistemas alternantes crecientes está inspirado en la dinámica de la función Boole. El segundo caso, que llamaremos sistemas alternantes crecientes con 2 discontinuidades, estudiaremos una familia de funciones fuertemente crecientes con 2 discontinuidades explosivas y un punto fijo. En ambos casos, el conjunto de las pre-imágenes de las discontinuidades jugará un rol crucial para determinar cuándo este tipo de funciones es transitivo. Es por ello que daremos la definición de expansividad, donde diremos que una función es expansiva si las pre imágenes de las discontinuidades son densas, y mostraremos que la expansividad y la transitividad son equivalentes. En cada caso daremos un ejemplo de una familia de funciones que es transitiva.